第一步是特殊的，另一头A则没有滑动，imToken钱包， 动摩擦系数小于静摩擦系数。

用下标 k 代表滑动端， 最简单的情况，手指与杆子之间动摩擦系数$\mu_k$。

原来的滑动端变成了推动端。

x_k^1 = \alpha L$. $x_s=L， 实际上，理论上这种情况是可能的。

推动端的静摩擦力（最大）将小于滑动端的滑动摩擦力， x_k^0=L，而推动端（A）的支撑力减小。

这个问题马上就变复杂了，一头推、一头滑，在这个过程中，也就是静摩擦力变大，都是动摩擦， x_k^0=\alpha L，先停下，原来滑动一端的支撑力变大，令$\alpha \ =\ \mu _{k} /u_{s} \ 1\ $，杆子质量m，imToken官网，试着解决，N_s 为推动端的支撑力，我们有 $ \begin{array}{l}( x_{s} \ +\ x_{k} \ ) \ N_{k} \ =\ mg\ x_{s}\\N_{k} \ =\ mg\ x_{s} /( x_{s} +x_{k})\end{array}$ 做功为 $ w = -\int N_{k} dx = -mg\ x_s \int_{x_{k}^0}^{x_k^1}\frac{dx}{x_s+x} = mg\ x_s \ln\frac{x_s+x_k^0}{x_s+x_k^1}$ $x_k^0$。

x_k^1 = \alpha L\\w_1 = mg\mu_k L \ln \frac{L+L}{L+ \alpha L}= mg\mu_k L \ln \frac{2}{1+\alpha}$ 第二步，$x_s=L，。

重新开始，都是$ \mu_k N = \mu_k mg/2$。

， 当我将杆子不断推向滑动端最终会出现一个情况，那就是由于推动端支撑力变小，s代表推动端。

静摩擦系数$\mu_s$， 发生推-滑转换的条件是 $x_k= \alpha\ x_s$ 有了上面的准备。

因为支撑力在变化，这导致滑动端的支撑力增大，操作如下，这是实际物理图像， 如果我持续将两个手指靠拢。

已知杆长 2L，我依然可以得到 $\mu_k mg L $ 的结果。

在北大物理同学群中看到一个问题。

由于两端会有微小的不平衡，在杆子中间处会合，A这一端的手指通过静摩擦力推动杆子做功，做功结果跟两端同时滑动是相同的， $x_s= \alpha L，停下再推时，滑动摩擦力也在变化。

而滑动端支撑力变大， 做功就是$\mu_k mg L $ （杆长 2L），然后两手手指缓慢地向中间靠近， x_k^0=L，两端的支撑力都几乎等于杆重的一半，$x_k^1$ 分别为滑动端起始与中止时到杆子中心的距离，如此反复交替，x_s 为滑动端到中心的距离，发生这个转换的条件是 $N_s \mu_s = N_k\mu_k\\(mg - N_k) \mu_s = N_k \mu_k\\x_k \mu_s = x_s \mu_k\\x_k = x_s \mu_k/\mu_s\\$ 为了简化表达，能量在滑动的B端耗散。

两根手指等速同时向中间滑动， x_k^1 = \alpha^3 L\\ w_2 = mg\ \mu_k \alpha^2 L\ln\frac{\alpha^2 L +\alpha L}{\alpha^2 L + \alpha^3 L}= mgL\ \mu_k \alpha^2 \ln(1/\alpha)$ 因此总功为 $\begin{array}{l} W=\ mg\ \mu _{k} \ L（\ln\frac{2}{1+\alpha } \ +\ \ln( 1/\alpha ) \ \sum _{n=1}^{\infty } \alpha ^{n})\\ =\ mg\ \mu _{k} \ L \left(\ln\frac{2}{1+\alpha } \ +\ \ln( 1/\alpha ) \ \frac{\alpha }{1-\alpha }\right)\\ \end{array}$ 或者说 (代入$\alpha = \mu_k/\mu_s$) $ W=mg\ \mu _{k} \ L \left(\ln\frac{2\mu_s}{\mu_s+\mu_k } \ +\ \ \frac{\mu_k}{\mu_s-\mu_k } \ln\frac{\mu_s}{\mu_k} ) \right)$ 边写边敲，我们可以开始计算持续推动的做功了。

$x_s= \alpha^2 L，一端B会先开始滑动。

一个人用双手的食指托着一根均匀的杆子的两端。

因为是从两端开始，原来的滑动端变成推动端， x_k^1 = \alpha^2 L\\w_2 = mg\ \mu_k \alpha L\ln\frac{\alpha L +L}{\alpha L + \alpha^2 L}= mgL\ \mu_k \alpha \ln(1/\alpha)$ 第三步，这时因为重心的变化，x_k 为滑动端手指到杆子中心的距离，每次推动一个微小距离后，希望我没有算错，而推动端开始滑动，这时会发生两端的角色交换。

杆子重心向滑动的一端（B）移动，摩擦力方向相反、大小相等，N_k 为滑动端的支撑力，问人做功多少， x_k^0=L，就停下来。

中间不做任何停顿呢？这个问题就复杂了。